Tübitak Lise 1. Aşama 2018 Soru 12

[Lokman Gökçe]

Tahtada başlangıçta $2018$ sayısı yazılıdır. Her hamlede tahtadaki sayı silinip yerine o sayının $12$ eksiği veya $9$ katının $4$ eksiği yazılıyor. Aşağıdaki sayılardan hangisi sonlu hamle sonucunda tahtada yazılı olabilir?

$\textbf{a)}\ 2^{29}+2 \qquad\textbf{b)}\ 3^{30}+1  \qquad\textbf{c)}\ 4^{31}+1 \qquad\textbf{d)}\ 5^{32}+4 \qquad\textbf{e)}\ 6^{33}+2 $

[Squidward]

Yanıt: $\boxed{E}$

Tahtaya yazılan sayı her zaman $4$ modunda $2$'ye eşit olacak, $C$ ve $D$ şıkları olamaz. ($12$ çıkartılması veya $9$ katının $4$ eksiği alınması $4$ modunda değeri değiştirmez ve $2018 \equiv 2 \pmod {4}$'tür.)

$2018$'den $12$ çıkartıp durduğumuzda değer $9$ modunda $2, 5, 8$ şeklinde tekrar edecektir, bir sayının $9$ katının $4$ eksiği her zaman $9$ modunda $5$ kalanını vereceğinden sayımız $9$ modunda yalnız $2, 5, 8$ değerlerini alabilir. $A$ ve $B$ şıkları da olamaz.

Yani içlerinden bir tanesi olabiliyorsa o şık $E$'dir.