Tübitak Lise 1. Aşama 2018 Soru 20

[Lokman Gökçe]

$1,2,\dots, 26$ sayılarıyla numaralandırılmış $26$ böcek başlangıçta $k$ numaralı böcek $(k,0)$ noktasında bulunacak şekilde koordinat düzlemine yerleştirilmiştir. Her hamlede tam olarak bir böcek bulunduğu $(a,b)$ noktasından $(a+1,b)$, $(a-1,b)$, $(a,b+1)$, $(a,b-1)$ noktalarından birine, atlayacağı noktada başka bir böcek bulunmuyorsa, atlıyor. En az kaç hamle sonucunda her $k=1,2,\dots, 26$ için $k$ nolu böcek $(27-k,0)$ noktasında bulunabilir?

$\textbf{a)}\ 384 \qquad\textbf{b)}\ 386  \qquad\textbf{c)}\ 388 \qquad\textbf{d)}\ 390 \qquad\textbf{e)}\ 392 $

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

$k$ numaralı böceğin yatay düzlemde yapacağı hamle en az $\mid (27-k)-k\mid=\mid 27-2k\mid $ olacaktır. Yatay düzlemde yapılan toplam hareket $Y$ olsun. $$Y\geq \sum_{k=1}^{26} \mid 27-2k\mid=\sum_{k=1}^{13} (27-2k)+\sum_{k=14}^{26} (2k-27)=\sum_{k=1}^{13} (27-2k)+\sum_{k=1}^{13} (2(k+13)-27)=\sum_{k=1}^{13}(27-2k+2k-1)=338$$ olur. Dikey yönde yapılan hareket sayısı $D$ olsun. Her böcek çift sayıda hareket yapacaktır. Eğer bir böcek dikey harekette bulunursa en az $2$ dikey hareket yapacaktır. İki böceğin dikey hareket yapmadığını varsayalım. Bu böceklerin numaraları $k_1$ ve $k_2$ olsun. Genelliği bozmadan $k_1>k_2$ olsun. $27-k_2>27-k_1$ olduğundan dikey hareket yapmadan bu iki böcek birbirlerinin arkasına geçemez. O yüzden dikey hareket yapmayan böcek sayısı en fazla $1$ olabilir. Yani $D\geq 2\cdot 25=50$ olur. Dolayısıyla $Y+D\geq 388$ olur.

$388$ için örnek durum: $13.$ böcek ile $14.$ böcek toplamda $4$ hamle ile yer değiştirir ($13.$ böcek dikey hareket yapmaz). $1\leq k\leq 12$ için $k.$ ve $(27-k).$ böceklerin birisi yukarı doğru diğeri aşağıya doğru hamle yapar ve yatayda hareket edip yer değiştirirler. Böylece $388$ hamlede sonuca ulaşılır.