Sorudaki şart için $3|a_0$ olması gerek ve yeterlidir.
$3|a_0$ olsun. $a_0\geq 9$ ise serinin $3,6,9$ döngüsüne gireceği açıktır. $a_0>9$ olsun, $(3k-3)^2<a_0<(3k)^2$ olmak üzere $k>1$ ise serideki sonraki tamkare $(3k)^2$ den sonraki terim $3k<(3k-3)^2$ olacaktır, yani seri her tamkareye vurduktan sonra önceki aldığı değerlerden daha düşük bir değere varmaktadır, bu da pozitif tamsayılarda sonlu kez tekrarlanabileceğinden bir süre sonra $k=1$ olur, dizi $3,6,9$ döngüsüne girer.
Dizinin bir terimi $3k+2$ formatında olursa dizinin sürekli artmaya başlayacağı, dolayısıyla sonsuz kez geçen bir terim bulunamayacağı açıktır. Şimdi dizide $3k+1$ formatında bir terim varsa $3k+2$ formatında bir terim de bulunacağını gösterelim.
$(3k)^2<a_t$ olan en büyük $k$ sayısını alalım. Eğer dizideki bir sonraki tamkare $(3k+2)^2$ ise sonraki terim $3k+2$ olur, istenen elde edilir. Eğer $(3k+1)^2$ ve $k>1$ ise $3k+1<(3k-3)^2$ olur, benzer şekilde bu küçültmeyi sonlu kez uygulayabileceğimizden bir süre sonra $k=1$, $a_x=16$, $a_{x+2}=2$ olur, istenen elde edilir ve ispat biter.
