Eşkenar Üçgen Kaplama {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Problem (L. Gökçe): Bir tabanı $2$ birim, diğer kenarları $1$ birim olan yamuklardan kullanılarak; bir kenarı $n$ birim olan bir eşkenar üçgen kaplanabiliyorsa, $n \in \{ 2016, 2017, 2018, 2019 \}$ değerlerinden kaçını alabilir?

$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 4 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri} $

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed {B}$

Bir yamuk, kenar uzunluğu $1$ birim olan üç eşkenar üçgenden oluşur. Kenar uzunluğu $n$ birim olan eşkenar üçgenin kenarları üstünden $n-1$ noktayı, bu kenarları $n$ eşit parçaya bölecek biçimde alalım. Bu noktalardan kenarlara paralel olacak biçimde doğrular çizilirse $n^2$ tane kenar uzunluğu $1$ birim olan eşkenar üçgen oluşur. Bu alanı tam $m$ tane yamukla kaplayabiliyor olalım. Alan eşitliğinden $3m=n^2$ olmalıdır. Dolayısıyla $3\mid n$ dir. Bu ise $n \neq 2017$, $n\neq 2018$ demektir. $n=3k$ formunda iken daima bu kaplamanın mümkün olduğunu gösterelim. $n=3$ için örnek aşağıdadır. Bu örneği kopyalayarak $n=3k$ için de kaplama yapılabilir.