Tübitak Lise 1. Aşama 1993 Soru 14

[Lokman Gökçe]

$\begin{array}{lcr} xy+x+y & = & 5 \\  x^2y+xy^2 & = & 6  \end{array}$

denklemleri veriliyor. $y>1$ ise $x^2+2y^2$ aşağıdakilerden hangisine eşittir?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ 6
\qquad\textbf{c)}\ 9
\qquad\textbf{d)}\ 8
\qquad\textbf{e)}\ 5
$

[alpercay]

Yanıt:$\boxed{C}$

İlk denklemi sırasıyla  $x$  ve $y$ ile çarpıp çıkan denklemleri toplarsak $x^2y+xy^2+(x+y)^2=5(x+y)$ ve  $x+y=t$ dersek  $t^2-5t+6=0$ denklemini elde ederiz. Denklemin kökleri $x+y=3$  ve  $x+y=2$ dir. Şimdi $x+y=3$ alarak verilen denklemleri toplarsak  $xy(x+y+1)+x+y=11$ denklemine yani $xy=2$ değerine ulaşırız. $x+y=3$  ve $xy=2$ denklemlerinin ortak çözümünden $x=2$ ve  $x=1$ elde olunur.  $x=1$ için  $y=\dfrac{2}{x}=2 \gt 1$ olur. $x+y=2$  olması durumda reel kökler oluşmaz. Öyleyse $x^2+2y^2=1+8=9$   bulunur.