$2x^2(x^2+2x-1)$ tam kare {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Problem (L. Gökçe): $100$ den küçük kaç $x$ pozitif tamsayısı için $2x^2(x^2+2x-1)$ ifadesi bir tam kare olur?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Metin Can Aydemir]

Yanıt: $\boxed{C}$

$2x^2(x^2+2x-1)$ tamkare ise $2(x^2+2x-1)$ de tamkaredir. $(x^2+2x-1)$ ifadesi çift olması gerektiğinden $x$ tek olmalıdır. $x$ yerine $2m-1$ yazalım. $m<50$ olur ve ifade,
$2((2m-1)^2+2(2m-1)-1)=8m^2-4$ olur.Dolayısıyla $2m^2-1$ tamkare olmalı.
$2m^2-1=t^2 \Rightarrow t^2-2m^2=-1$ pell denklemi çıkar.$(t,m)=(1,1)$ çözümdür.
$(t_{0}+m_{0}\sqrt{2})^{2n-1}=(t_{n}+m_{n}\sqrt{2})$'den $n={1,2,3}$ için $m={1,5,29}$ buradan $x={1,9,57}$ çözümleri gelir. Toplam $3$ tane $x$ vardır.