Kısmi integrasyon yapacağız.
$\begin{align*}\int_{0}^{a}\cot(x)\arctan(x)dx = \ln(\sin(x))\arctan(x)-\int_{0}^{a} \dfrac{\cot(x)}{x^2+1}dx
\Rightarrow \ln(\sin(a))\arctan(a)-i\int_{0}^{a}\dfrac{1}{x^2+1}dx+2i\int_{0}^{a}\dfrac{\sum_{\lambda=0}^{\infty}e^{2ix\lambda}}{x^2+1}dx \Longleftrightarrow \cot(x)\cong i-2i\sum_{\lambda=0}^{\infty}e^{2ix\lambda}\space \rightarrow \text{$|x|\le 1$} \end{align*}$
Değişken değiştirerek devam ediyoruz. $\begin{align*}\arctan(a)(\ln(\sin(a))-1)+4i\int_{0}^{a} \dfrac{\frac{k}{1-k^{2i}}}{k^4+4}dk \end{align*}$ Yeniden Kısmi integrasyon yapalım.
$\begin{align*}4i\int_{0}^{a} \dfrac{\frac{k}{1-k^{2i}}}{k^4+4}dk=4i(\ln(k^4+4-4k^{2i}-k^{4+2i})k|_{0}^{a}-\int_{0}^{a} \dfrac{1}{k^4+4-4k^{2i}-k^{4+2i}}dk\end{align*}$
Burada sanal kısımları ihmal edelim.
$$\int_{0}^{a}\cot(x)\arctan(x)dx=\arctan(a)\ln(\sin(a))-\dfrac{\ln(e^a-1)-\ln(1-e^a)}{2}\Rightarrow \sum_{cyc}b^2c^3\int _0^a\left(\cot(x)\right)\left(\tan^{-1}x\right)dx$$
$$<\sum_{cyc}b^2c^3 \tan^{-1}h(a)\ln(\sin(a))-\dfrac{\ln(e^a-1)-\ln(1-e^a)}{2}\leqslant \sum_{cyc}-b^2c^3\dfrac{\ln(e^a-1)-\ln(1-e^a)}{2}=-\sum_{cyc}b^2c^3\dfrac{\ln(e^a-1)-\ln(1-e^a)}{2}=-\sum_{cyc}b^2c^3 \arctan h(e^a)$$
$0<abc(a^3+b^3+c^3)+\sum_{cyc}b^2c^3\arctan h(e^a)$ olduğunu göstermek yeterli olacaktır. Bunun doğruluğu ise aşikardır. İspat biter.
