Kamp Sonu sınavı Analiz Sorusu

[ArtOfMathSolving]

$p(x)$ ve $q(x)$ tamsayı katsayılıi sabit olmayan polinomlar olsun. $$p(x)q(x) - 2015$$ Polinomunun en az $33$ farklı tamsayı kökü olduğu bilinmektedir. $p(x)$ ve $q(x)$ polinomlarının derecesinin en az $3$ olduğunu gösteriniz.

[Eray]

Aksini varsayalım. Genelliği bozmadan $p(x)$ in derecesini $3$ ten küçük kabul edelim.

$33$ farklı $n$ tam sayısı için $p(n)q(n)=2015$ eşitliği sağlanıyormuş. $p(x)$ ve $q(x)$ tam sayı katsayılı olduğundan $p(n)$ ve $q(n)$ tam sayılardır.

$2015=5.13.31$ sayısının $8$ pozitif böleni vardır. Yani toplam bölen sayısı $16$ dır.
$33$ farklı $n$ tam sayısının her biri için $p(n)$, bu $16$ bölenin birine eşit olmak zorundadır.

Ancak $p(x)$ in derecesi en fazla $2$ olduğundan, bir $k$ tam sayısı için $p(n)=k$ eşitliğini sağlayan en fazla $2$ adet $n$ tam sayısı olabilir. Yani $16$ bölenin her biri için $p(n)$ yi bu bölene eşit yapan en fazla $2$ adet $n$ tam sayısı vardır.

Dolayısıyla toplamda, $p(n)$ yi $2015$ in bir böleni yapan en fazla $32$ tam sayı olabilir. Çelişki.
Yani $p(x)$ ve $q(x)$ polinomlarının derecesi en az $3$ olmalıdır.