Asal kuvvetler

[KereMath]

Öyle p asalları ve x,y pozitif tamsayıları var mıdır ki
x^p-1+y ve y^p-1+x sayıları p nin kuvveti olsun?

[ArtOfMathSolving]

Evet, olabilir.

kolaylıkla $p=2$ için çözüm geldiğini görebiliriz. Denklemlerin düzenlersek, $x,y\equiv p-1 \pmod p$ elde ederiz. ana denklemde $x,y=p-1$ yazalım. $(p-1)((p-1)^{(p-2)}+1)=p^k,k\in\mathbb{Z}$ olmalı fakat $p>2$ için $p-1$ ile $p$ aralarında asal olacak ve bölünmeyecek o halde tek çözüm $p=2$ dir. Eksik yaptığım bir yer varsa düzeltin teşekkürler.

[KereMath]

ArtOfMathSolving bey x,y=p-1 olmasının sebebi nedir.Bakıldığı zaman x=ap-1 formunda tüm sayılar olabileceği gözüküyor

[ArtOfMathSolving]

$x=ap-1$ olduğunda da $ap-1$ ifadesi de $p$ ile aralarında asal oluyor. Aynı sonuca ulaşabiliriz. Şimdi aklınıza şu soru takılabilir : $x=ap-1,y=bp-1$ ise ? O halde gösterelim ki $p>2$ için çözüm yok.

$x^{p-1}+y^{p-1}+x+y = p^k+p^l \Rightarrow x^{p-1}+y^{p-1}+x+y= p^{k}(p^{n}+1)$ olsun ve genelliği bozmadan $k=l+n$ kabul edelim. LTE Lemma ya göre: $v_{p}(x^n+y^n)=v_{p}(x+y)+v_{p}(n)$ dir. $p-1$ ile $p$ aralarında asal olduğuna göre $v_{p}(p-1)=0$. O halde $v_{p}(x^{p-1}+y^{p-1})=v_{p}(x+y)=\alpha$

$x,y\equiv -1 \pmod p$ olduğunu biliyoruz. O zaman $x+y\equiv -2 \pmod p$ olacak. Fakat lemma gereği $x+y=p^{\alpha}.\theta$ gibi bir sayı olması gerekir ayrıca $\alpha=0$ olması durumunda $k=l+n,n\in\mathbb{Z^{+}}$ koşuluyla çelişir. Çelişki!  o halde tek çözüm $p=2$ dir. Hatam olursa affola.

[KereMath]

Çok güzel bir çözüm.Lakin $\alpha$=0 durumunu açıklayabilir misiniz.Cevaba göre p=2 den farklı olarak sadece p=3 x=2 y=5 sayıları bu denklemi sağlamaktadır.O da görüldüğü üzere $\alpha$=0 durumundan geliyor

[ArtOfMathSolving]

  evet haklısınız düzelttiğiniz için çok teşekkürler $\alpha=0$ olduğu durumu farkedemeyip geçiştirmişim. Soru size aitse çok güzel bir soru tebrik ederim.

[KereMath]

Rica ederim.Ancak soru bana ait değil IMO shortlist 2014 N5 sorusudur.Beğenip buraya yazdım.