Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2007 Soru 3

[ERhan ERdoğan]

$2007$ den küçük olup, hem kendisi, hem de bütün pozitif bölenlerinin toplamı tek sayı olan tüm pozitif tam sayıları bulunuz.

[ygzgndgn]

Çözüm. Aradığımız $n$ sayısının bölenleri $\{a_1=1,a_2,a_3,\dots,a_k=n\}$ olsun. $n$ tek sayı ise çift hiçbir böleni bulunmamalıdır. Yani $n$ sayısının tüm bölenleri tek olmalıdır. Pozitif bölenler toplamının tek olması istenmiş. $n$'in çift sayıda böleni olduğunu, yani $k$ sayısının çift olduğunu varsayarsak bu toplam $S=a_1+a_2+a_3+\dots+a_k=(a_1+a_k)+(a_2+a_{k-1})+\dots+(a_{\frac{k}{2}}+a_{\frac{k}{2}+1})$ şeklinde gruplanabilmelidir. Gruplanan ikililerin elemanları tek sayı, toplamları çift sayıdır. Çift sayıların toplamı çift sayı eder. Çelişki. O halde böyle bir gruplama olmamalıdır. Bunun gerek ve yeter koşulu $k$'nın tek olmasıdır. Öyleyse $n$ tek bir tam kare sayı olmalıdır. Soruda verilen koşulu sağlayan $n$ sayıları $1^2,3^2,5^2,\dots,43^2$ olarak bulunur.