Putnam 2015/B1

[ArtOfMathSolving]

$f$ gerçel sayı kümesinde tanımlı $3$ kez türevlenebilir bir fonksiyon olmak üzere, $f$ nin en az $5$ tane gerçel kökü olsun. $f+6f+12f''+8f'''$ fonksiyonunun en az iki farklı gerçel kökü olduğunu kanıtlayın.

[ArtOfMathSolving]

($\textit{Aops}$)

$g(x)=8e^{x/2}f(x)$ olsun. $g'''(x)=e^{x/2}(f(x)+6f'(x)+12f''(x)+8f'''(x)).$ olacak. $f$ nin kökleri aynı zamanda $g$ nin de kökleri olacak. $g$ nin $5$ farklı gerçel kökü var. Rolle'nin teoreminden $[a,b]$ aralığında ($a$ ve $b$, $f(a)=f(b)=0$ koşulunu sağlayan sayılar olmak üzere) $f'(x)=0$ eşitliğini sağlayan mutlaka bir $x$ sayısı vardır. Bu yüzen $g'$ün $4$ farklı reel kökü olacak, $g''$ ün $3$ ve $g'''$ ünde tam olarak $2$ farklı gerçel kökü olacaktır. Yani $f(x)+6f'(x)+12f''(x)+8f'''(x)$ ifadesinin tam olarak $2$ gerçel kökü vardır.