EŞİTSİZLİK 194

[MATSEVER 27]

$a+b+c=3$ eşitliğini sağlayan bütün $a,b,c$ pozitif gerçel sayıları için;
$$\sqrt{\frac{a}{bc}}+\sqrt{\frac{b}{ca}}+\sqrt{\frac{c}{ab}} \ge a^2b+b^2c+c^2a$$
olduğunu gösteriniz.

(MatSever 27)

[ArtOfMathSolving]

ispatlamamız gereken ifade,

$a+b+c\ge a^2b+b^2c+c^2a$ dır. Şimdi Bunu düzenleyelim,

$(a-a^2b)+(b-b^2c)+(c-c^2a)\ge 0 \Rightarrow a(1-ab)+b(1-bc)+c(1-ac)\ge 0$

$\begin{align*}\sum_{cyc}a(1-ab)=\sum_{cyc}b^2+bc-3b+1\end{align*}$ Ve buradan $a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc\ge 6$ olduğunu ispatlamak kalıyor.

Aritmatik-Geometrik ortalama eşitsizliğinden $a^2+b^2+c^2\ge 3, ab+ac+bc=3 $ bulunur. taraf tarafa toplarsak, istediğimizi elde ederiz, İspat biter.$\blacksquare$