EŞİTSİZLİK 193

[MATSEVER 27]

Tüm  $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \ge \dfrac{c}{a+2c}+\dfrac{b}{c+2b}+\dfrac{a}{b+2a}$ koşulunu sağlayan $a,b,c$ pozitif gerçel sayıları için;
$$\frac{a+2}{b}+\frac{b+2}{c}+\frac{c+2}{a}\ge 5$$ olduğunu gösteriniz.

(Mehmet Berke İşler)

[ArtOfMathSolving]

Verilen Eşitsizliği düzenleyelim,

$\dfrac{2(ab+ac+bc)}{abc}\ge \begin{align*}\sum_{cyc}\dfrac{2c}{a+2c} =  \sum_{cyc}1-\dfrac{a}{a+2c}\end{align*}$

$ = \dfrac{2(ab+ac+bc)}{abc}+\begin{align*}\sum_{cyc}\dfrac{a}{a+2c}\ge 3\end{align*}$. Tekrar düzenlersek,

$\begin{align*}\sum_{cyc}\dfrac{a^2+4c+2a}{a^2+2ac}\ge \dfrac{(a+b+c)^2+6(a+b+c)}{(a+b+c)^2}\end{align*}$ Buradan $a+b+c=3$ buluruz.

İspatlamamız istenen eşitsizliği şu şekilde düzenlersek,

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+2(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})\ge 5$ Aritmetik-Geometrik ortalama eşitsizliği yardımıyla,

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge 3$

$2(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})\ge 2$ buluruz. Bu iki eşitsizliği taraf tarafa toplarsak,

$\dfrac{a+2}{b}+\dfrac{b+2}{c}+\dfrac{c+2}{a}\ge 5$ buluruz. İspat biter. $\blacksquare$