EŞİTSİZLİK 187

[MATSEVER 27]

$x,y,z$ pozitif gerçel sayılar $x^2+y^2+z^2+xyz=4$ eşitliğini sağladığına göre tüm $a,b,c$ gerçel sayıları için;
$$a^2+b^2+c^2 \geq xab+ybc+zca $$
olduğunu gösteriniz.

[MATSEVER 27]

Uygulama (Türkiye TST 2013 P6): $-2\leq x,y,z \leq 2$ ve $x^2+y^2+z^2+xyz = 4$ koşullarını sağlayan tüm $x,y,z$ gerçel sayıları için, $$\dfrac{z(xz+yz+y)}{xy+y^2+z^2+1} \leq K$$ olmasını sağlayan en küçük $K$ gerçel sayısını belirleyiniz.


Lemmada $a=x+y, \: b=1, \: c=z$ alınırsa soru çözülür. $K=1$