$(2^a-1)(3^b-1)=c!$ eşitliğini sağlayan tüm $(a,b,c)$ doğal sayı üçlülerini beli

[MATSEVER 27]

$(2^a-1)(3^b-1)=c!$ eşitliğini sağlayan tüm $(a,b,c)$ doğal sayı üçlülerini belirleyiniz.

[ArtOfMathSolving]

Acaba $c>7$ olabilir mi ?
$(2^a-1)(3^b-1)=9!$ olsun , $(2^a-1), (3^b-1)$ sayılarından biri $9$'e bölünmelidir.

$2^a-1\equiv 0 \pmod 9$ denkliğinin çözümü yoktur

$3^b-1\equiv 0\pmod 9$ denkliğinin çözümü yoktur, $3^b-1$ $9$ ile aralarında asaldır.

Diğer durumlar incelenirse, $a=1,2,2,4,6 $
$b=1,1,2,2,4. $
$c=2,3,4,5,7$ çözümleri elde edilir.

İyi çalışmalar.

[MATSEVER 27]

$2^a \equiv 1 \pmod{9}$ denkliğinin çözümü $a=6k$ içindir.

[ArtOfMathSolving]

O zaman sonsuz çözüm mü var?

[MATSEVER 27]

Hayır bu sonuç bu anlama gelmez, sadece modüler aritmetikten soruyu kolayca çözemeyeceğimizi göstermiş olur