Tübitak Avrupa Kızlar Takım Seçme 2016 Soru 1

[MATSEVER 27]

Tüm  $ x, y, z $ pozitif gerçel sayıları için,
$$x^4y+y^4z+z^4x+xyz (x^3+y^3+z^3) \ge (x+y+z)(3xyz-1)$$
olduğunu gösteriniz.

(Fehmi Emre Kadan)

[MATSEVER 27]

$x^4y+y^4z+z^4x+x^4yz+y^4xz+z^4xy+x+y+z\geq 3x^2yz+3y^2xz+3z^2xz$ olduğunu göstermeliyiz. $A.G.O$ dan $x^4y+x^4yz+z\geq 3x^{\frac{8}{3}}y^{\frac{2}{3}}z^{\frac{2}{3}}$ biliyoruz. Benzer şekilde yapılıp toplanırsa
$$x^4y+y^4z+z^4x+x^4yz+y^4xz+z^4xy+x+y+z\geq3x^{\frac{8}{3}}y^{\frac{2}{3}}z^{\frac{2}{3}}+3x^{\frac{2}{3}}y^{\frac{8}{3}}z^{\frac{2}{3}}+3x^{\frac{2}{3}}y^{\frac{2}{3}}z^{\frac{8}{3}}$$
 elde edilir. Muirhead Eşitsizliğinden;
$$3x^{\frac{8}{3}}y^{\frac{2}{3}}z^{\frac{2}{3}}+3x^{\frac{2}{3}}y^{\frac{8}{3}}z^{\frac{2}{3}}+3x^{\frac{2}{3}}y^{\frac{2}{3}}z^{\frac{8}{3}}\geq 3x^2yz+3y^2xz+3z^2xz$$
elde edilir. Sonuç olarak;
$$x^4y+y^4z+z^4x+x^4yz+y^4xz+z^4xy+x+y+z\geq 3x^{\frac{8}{3}}y^{\frac{2}{3}}z^{\frac{2}{3}}+3x^{\frac{2}{3}}y^{\frac{8}{3}}z^{\frac{2}{3}}+3x^{\frac{2}{3}}y^{\frac{2}{3}}z^{\frac{8}{3}}\geq 3x^2yz+3y^2xz+3z^2xz$$
elde edilir ve ispat biter.