Garip bir eşitsizlik

[AtakanCİCEK]

$x,y,z \in \mathbb{R^+}$ olmak üzere;

$$4+\sqrt{2}<\left(\sqrt{x+y}+\sqrt{x+z}+\sqrt{y+z}\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{2x+y+z}}+\dfrac{1}{\sqrt{x+2y+z}}+\dfrac{1}{\sqrt{x+y+2z}}\right)\le \dfrac{9}{\sqrt{2}}$$ olduğunu gösteriniz. (Yazdığım alt sınır muhtemelen en iyi alt sınır değil)


(Eşitsizliğin sağ tarafı daha önceden
https://math.stackexchange.com/questions/1897890/how-prove-this-inequality-with-sum-sqrtab-sum-frac1-sqrt2abc-le-fra?noredirect=1&lq=1&fbclid=IwAR0Ztf7xUShFhsPF_BEM0ktVKgs6IvVuPNG58ZYR25PSeIs1T-xR9hVjUDU )  adresinde türev yardımıyla ispatlanmış.)


(Eşitsizliğin sol tarafını ise https://geomania.org/forum/index.php?topic=8633.msg23333;topicseen#new )
linkindeki soru ile uğraşırken wolfram alpha ile kontrol ederken fark ettim ancak ispatlayamadım.)