EŞİTSİZLİK $84$ {çözüldü}

[MATSEVER 27]

$x+y+z=3$ eşitliğini sağlayan tüm $x,y,z$ pozitif gerçel sayıları için;
$$\dfrac{1}{x^2+y+z}+\dfrac{1}{x+y^2+z}+\dfrac{1}{x+y+z^2} \le 1$$
olduğunu gösteriniz.

[Eray]

Cauchy-Schwarz Eşitsizliği'nden,

$(x^2+y+z)(1+y+z)\ge(x+y+z)^2 \Longrightarrow \dfrac{1}{x^2+y+z}\le\dfrac{1+y+z}{(x+y+z)^2}$

Benzer şekilde $\dfrac{1}{x+y^2+z}\le\dfrac{1+x+z}{(x+y+z)^2}$ ve $\dfrac{1}{x+y+z^2}\le\dfrac{1+x+y}{(x+y+z)^2}$

Bu üç eşitsizlik taraf tarafa toplanırsa $\dfrac{1}{x^2+y+z}+\dfrac{1}{x+y^2+z}+\dfrac{1}{x+y+z^2} \le \dfrac{1+y+z}{(x+y+z)^2}+\dfrac{1+x+z}{(x+y+z)^2}+\dfrac{1+x+y}{(x+y+z)^2}=\dfrac{3+2x+2y+2z}{(x+y+z)^2}=\dfrac{9}{9}=1$ elde edilir. $\blacksquare$