EŞİTSİZLİK $32$

[MATSEVER 27]

$x+y=2$ eşitliğini sağlayan $x,y$ pozitif gerçel sayıları için $x^3y^3(x^3+y^3) \le 2$ olduğunu gösteriniz.

[MATSEVER 27]

$x+y=a,xy=b$ diyelim. Eşitsizlik $b^3a(a^2-3b) \le^{?} 2$ haline döner. $a=2$ dir. O halde eşitsizlik $b^3(4-3b) \le^{?} 1$ haline döner. $A.G.O$ dan $b \le 1$ dir. O halde $b,b,b,(4-3b)$ terimleriyle $A.G.O$ dan;
$$1=\dfrac{b+b+b+4-3b}{4} \ge \sqrt[4]{b^3(4-3b)}$$
olduğunu söyleyebiliriz dolayısıyla ispat biter.