$\dfrac{a^2+1}{2b^2-3}=\dfrac{a-1}{2b-1}$ eşitliği

[MATSEVER 27]

$$\dfrac{a^2+1}{2b^2-3}=\dfrac{a-1}{2b-1}$$
eşitliğini sağlayan tüm $(a,b)$ tamsayı ikililerini belirleyiniz.

[AtakanCİCEK]

$2013$  Çekya matematik olimpiyatı sorusudur.

Denklemi yeniden yazarsak

$$2.(a-1)^2-2.(a^2+1)b+(a^2-3a+4)=0$$ elde edilebilir. Buradan diskriminantın tam kare olması şartından yola çıkarsak

$$y^2=a^4-2a^3+10a^2-14a+9$$ denklemini sağlayan $y$ tam sayısı bulunması gerektiği görülebilir. $x=a-1$ olacak şekilde tam sayısı seçersek denklemimiz

$$y^2=x^4+2x^3+10x^2+4x+4=(x^2+x+2)^2+5x^2$$  olduğunu görebiliriz. Buradan yola çıkarsak $x=0$ durumu hariç

$$(x^2+x+2)^2<y^2<(x^2+x+5)^2$$  olduğu açıktır. (sol taraf tam kare büyük eşit $0$ dan geliyor.)

Sağ tarafı ispatlayalım.

$$(x^2+x+5)^2=((x^2+x+2)+3)^2=(x^2+x+2)^2+2.3.(x^2+x+2)+9$$ olur. Buradan $6x^2+6x+21-5x^2>0$ ın daima sağlandığını ispatlamamız yeterlidir. ve bu ifadenin diskriminantı negatif olduğu ve başkatsayısı pozitif olduğu için daima sağlanır.


Dolayısıyla $$(x^2+x+2)^2+5x^2=(x^2+x+3)^2$$ veya $$(x^2+x+2)^2+5x^2=(x^2+x+4)^2$$  eşitliklerinden biri sağlanmalıdır.

İlk denklemi sadeleştirirsek $5x^2=1.(2x^2+2x+5)$ yani $3x^2-2x-5=0=(x+1)(3x-5)$  elde edilir. Buradan yalnızca $x=-1$ sağlar.

ikinci denklemi sadeleştirirsek $5x^2=2.(2x^2+2x+6)$  yani $x^2-4x-12=0=(x-6)(x+2)$ olduğundan $x=6$ ve $x=-2$ çözümlerini elde ederiz. Ayrıca eşitliğin sağlanması için $x=0$ hariç durumları incelediğimiz için $x=0$ da olabileceğini not edelim. Bu durumda uygun $a$ değerlerimiz $x=a-1$ den $a\in \{-1,0,1,7 \}$ olur.

a) $a=-1$ alırsak  $(b-1)(b+2)=0$ eşitliğini elde ederiz. Deneyerek $(a,b)$  için $(-1,1)$  ve $(-1,-2)$ ikililerinin sağladığı görülebilir.

b) $a=0$  alırsak $(b-1)(b+2)=0$ eşitliğini elde ederiz. Deneyerek $(0,1)$  ve $(0,-2)$ ikililerinin sağladığı görülebilir.

c) $a=1$  olursa çözüm gelmez.

d) $a=7$ için $(3b-1)(b-8)=0$  elde edilir. Denenirse $(7,8)$  in çözüm olduğu görülebilir.

Tüm ikililer $(-1,-2),(-1,1),(0,-2),(0,1),(7,8)$ olarak bulunur.

Benzer bir soru için :  https://geomania.org/forum/index.php?topic=6830.0

[Metin Can Aydemir]

$b=1$ durumunda da $(a,b)=(0,1),(-1,1)$ durumları elde edilir. $b=0,-1$ durumda ise çözüm yoktur. Şimdi $|b|\geq 2$ kabul edebiliriz, bu durumda $2b^2-3>0$'dır. $$\frac{a-1}{a^2+1}=\frac{2b-1}{2b^2-3}$$ rasyonel sayısı $q>0$ ve $(p,q)=1$ olmak üzere $\frac{p}{q}$'a eşit olsun. $2b-1$ tek sayı olduğundan $$d_1=(2b^2-3,2b-1)=(4b^2-6,2b-1)=(4b^2-6-4b^2+1,2b-1)=(5,2b-1)=1\text{ veya }5,$$ $$d_2=(a^2+1,a-1)=(a^2+1-a^2+1,a-1)=(2,a-1)=1\text{ veya }2.$$

i) Eğer $d_1=d_2=1$ ise $a^2+1=2b^2-3=q$ ve $a-1=2b-1=p$ olmalıdır. Bu durumda $a=2b$ olacağından $$2b^2-3=a^2+1=4b^2+1\implies b^2=-2$$ elde edilir, yani çözüm yoktur.

ii) Eğer $d_1=1$ ve $d_2=2$ ise $a^2+1=2q$, $2b^2-3=q$, $a-1=2p$, $2b-1=p$ olacaktır. Buradan $$a-1=4b-2\implies a=4b-1$$ elde edilir. Dolayısıyla, $$4b^2-6=a^2+1=(4b-1)^2+1\implies 3b^2-2b+2=0$$ elde edilir ancak çözüm yoktur.

iii) Eğer $d_1=5$, $d_2=1$ ise diğer adımlara benzer şekilde, $$5p=2b-1=5(a-1)\implies b=\frac{5a-4}{2}$$ elde edilir, buradan da $$5q=5(a^2+1)=2b^2-3=\frac{(5a-4)^2}{2}-3\implies a(3a-8)=0\implies a=0.$$ $a=0$ durumunda $b=-2$ olacaktır ve $(a,b)=(0,-2)$ çözümünü elde ederiz.

iv) Eğer $d_1=5$ ve $d_2=2$ ise $$10p=2(2b-1)=5(a-1)\implies b=\frac{5a-3}{4}$$ bulunur. $$10q=5(a^2+1)=2(2b^2-3)=\frac{(5a-3)^2}{4}-6.$$ Bu denklemi düzenlersek de $$(a+1)(a-7)=0\implies a=-1,7$$ bulunur. Bunlara karşılık gelen çözümler de $(a,b)=(-1,-2),(7,8)$'dir.

Tüm çözümler $(a,b)=(0,1),(-1,1),(0,-2),(-1,-2),(7,8)$ olarak bulunur.