EŞİTSİZLİK $72$ {çözüldü}

[MATSEVER 27]

Toplamları  $4$ e eşit olan tüm  $a,b,c,d $ pozitif gerçel sayıları için;
$$\dfrac{a}{a^3+8}+\dfrac{b}{b^3+8}+\dfrac{c}{c^3+8}+\dfrac{d}{d^3+8} \le \dfrac {4}{9} $$
olduğunu gösteriniz.

[Lokman Gökçe]

$a,b,c,d>0$ ve $a+b+c+d=4$ veriliyor. $f(a,b,c,d)= \dfrac{a}{a^3+8}+\dfrac{b}{b^3+8}+\dfrac{c}{c^3+8}+\dfrac{d}{d^3+8}$ fonksiyonunun $a+b+c+d=4$ kısıtlayıcı şartı altındaki maksimum değerini hesaplayacağız. Bunun için

$F= \dfrac{a}{a^3+8}+\dfrac{b}{b^3+8}+\dfrac{c}{c^3+8}+\dfrac{d}{d^3+8} + \lambda (a+b+c+d-4)=0$ fonksiyonunun $a,b,c,d$ değişkenlerine göre kısmi türevlerini inceleyelim.

$$F_a = \dfrac{-2(a^3-4)}{(a^3+8)^2}+\lambda  =0$$
$$F_b = \dfrac{-2(b^3-4)}{(b^3+8)^2}+\lambda  =0$$
$$F_c = \dfrac{-2(c^3-4)}{(c^3+8)^2}+\lambda  =0$$
$$F_d = \dfrac{-2(d^3-4)}{(d^3+8)^2}+\lambda  =0$$

olur. Buradan $\lambda =\dfrac{2(a^3-4)}{(a^3+8)^2} = \dfrac{2(b^3-4)}{(b^3+8)^2}=\dfrac{2(c^3-4)}{(c^3+8)^2}= \dfrac{-2(d^3-4)}{(d^3+8)^2}$ olup ilk iki denklemde çapraz çarpım yaparsak $2a^3b^3-8b^3+16a^3-64=2a^3b^3-8a^3+16b^3-64$ olur. $8a^3=8b^3$ den $a=b$ elde edilir. Benzer biçimde $a=b=c=d$ bulunur. $a+b+c+d=4$ olduğundan $a=b=c=d=1$ için $f$ nin bir ekstemuma sahip olduğunu anlarız. $f_{\max}=f(1,1,1,1)=\dfrac 49$.

[MATSEVER 27]

II. Yol:

$A.G.O$ dan $a^3+2 \ge 3a$ dır. $a^3+8 \ge 3(a+2)$ ve $\dfrac{a}{a^3+8}+\dfrac{b}{b^3+8}+\dfrac{c}{c^3+8}+\dfrac{d}{d^3+8} \le \dfrac{1}{3} ( \dfrac{a}{a+2}+\dfrac{b}{b+2}+\dfrac{c}{c+2}+\dfrac{d}{d+2} )$ olur. Eğer biz $\dfrac{a}{a+2}+\dfrac{b}{b+2}+\dfrac{c}{c+2}+\dfrac{d}{d+2} \le \dfrac{4}{3}$ gösterirsek ispat biter. $\dfrac{a}{a+2}=1-\dfrac{2}{a+2}$ dir. Son olarak eğer $\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+2}+\dfrac{1}{d+2} \ge \dfrac{4}{3}$ gösterirsek ispat biter. Bu da $a+2,b+2,c+2,d+2$ terimleriyle yapılan Aritmetik-Harmonik Ortadan kolayca bulunabilir. İspat biter.