Rakamların yerlerini değiştirme {çözüldü}

[taftazani44]

$12234456678$ sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek elde edilen tüm sayıların kaç tanesinde, tüm $2$ ler tüm $4$ lerden önce veya tüm $4$ ler, tüm $6$ lardan önce gelir?

[Lokman Gökçe]

$2$ ve $4$ rakamlarını $a$ ile gösterelim ve $2$ lerin $4$ lerden önce geldiği durumlar için $1aa3aa56678$ in tekrarlı permütasyonlarını hesaplayalım: $\dfrac{11!}{4!2!}$ olur. Benzer yolla $4$ lerin $6$ lardan önce gelme sayısı da $\dfrac{11!}{4!2!}$ dir. Bu iki durumu toplarız ancak arakesit durumları iki kez sayıldığı için bunları çıkarmalıyız. Yani $2$ ler $4$ lerden önce ve $4$ ler $6$ lardan önce gelecek. Bu rakamları da $b$ ile gösterelim. $1bb3bb5bb78$ in tekrarlı permütasyonlarını hesaplayalım: $\dfrac{11!}{6!}$ olur. İçerme dışarma prensibi gereği istenen $2\cdot\dfrac{11!}{4!2!} - \dfrac{11!}{6!}$ buluruz.