$\dfrac{n^p+1}{p^n+1}$ ifadesi bir tamsayı [APMO 2012]

[MATSEVER 27]

$\text{[APMO 2012]}$ $n$ bir pozitif tamsayı ve $p$ bir asal sayı olmak üzere $\dfrac{n^p+1}{p^n+1}$ ifadesinin bir tamsayı olmasını sağlayan tüm $(n,p)$ ikililerini belirleyiniz.

[taftazani44]

p=2 için (2,2), (4,2)
p=n için sonsuz tane

[Abdullah demircan]

$p=n$'in bir çözüm olduğunu not edelim. Başka çözümler için $p$ ve $n$'nin farklı olduğunu  varsayalım.

$p>2$ ise $p^{n}<n^{p}$ olduğu için $n<p$ olmalıdır. Ayrıca $p$ tek olduğu için $n$ de tektir. $q \mid n^{p}+1$ olacak şekilde $p$'den farklı $q$ Asali için. $ord_n(q) \in 1,2,2p$ olur. $q \nmid n+1$ ise $q\equiv1\pmod{p}$ olur. Bundandır ki $d=ebob(p^{n}+1,n+1)$ olmak üzere.$p^{n}+1\equiv d \pmod{p}$,$d \equiv1\pmod {p}$ olur. $d<n+1< p$ olduğu için $d=1$ olmalıdır fakat $ebob(p^{n}+1,n+1)\ge 2$ olduğu için bu mümkün olamaz. Demek ki $p>2$ için çözüm yoktur.

$p=2$ ise $2^{n} \le n^{2}$ olmalıdır. $n=4$ ya da $n=3$ olabilir ama $n=3$ sağlamaz. Tek çözüm $(p,n)=(2,4)$ olur

[Abdullah demircan]

$p=n$'in bir çözüm olduğunu not edelim. Başka çözümler için $p$ ve $n$'nin farklı olduğunu  varsayalım.

$p>2$ ise $p^{n}<n^{p}$ olduğu için $n<p$ olmalıdır. Ayrıca $p$ tek olduğu için $n$ de tektir. $q \mid n^{p}+1$ olacak şekilde $p$'den farklı $q$ Asali için. $ord_n(q) \in 1,2,2p$ olur. $q \nmid n+1$ ise $q\equiv1\pmod{p}$ olur. Bundandır ki $d=ebob(p^{n}+1,n+1)$ olmak üzere.$p^{n}+1\equiv d \pmod{p}$,$d \equiv1\pmod {p}$ olur. $d<n+1< p$ olduğu için $d=1$ olmalıdır fakat $ebob(p^{n}+1,n+1)\ge 2$ olduğu için bu mümkün olamaz. Demek ki $p>2$ için çözüm yoktur.

$p=2$ ise $2^{n} \le n^{2}$ olmalıdır. $n=4$ ya da $n=3$ olabilir ama $n=3$ sağlamaz. Tek çözüm $(p,n)=(2,4)$ olur

$ebob(n+1,\frac{n^{p}+1}{n+1})\in 1,p$ olduğunu da not düşmek gerek sanırım.