USA TST 2005 P6

[ERhan ERdoğan]

$ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $O$ dur. Bu çembere $A$ da çizilen teğetin $BC$ yi kestiği nokta $Q$ olsun. Üçgenin içinde alınan bir $P$ noktası için $\angle{PAB}=\angle{PBC}$ , $\angle{PAC}=\angle{PCB}$ ve $|QA|=|QP|$ ise $\angle{AQP}=2\angle{OQB}$ olduğunu gösteriniz.

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

$AP \cap BC = K$  olsun. $KB$ doğrusu $\triangle APB$ nin çevrel çemberine $B$ noktasında teğettir. O zaman $KB^2=KP\cdot KA$  dır. $KD$ doğrusu $\triangle APC$ nin çevrel çemberine $C$ de teğettir. O zaman $KC^2=KP\cdot KA$  dır. Dolayısıyla $KB=KC$  dir. Yani $OK \perp BC$  dir . $OA \perp QA$  olduğunu biliyoruz. O zaman $QAOK$  çemberseldir. O zaman $\angle QPA=\angle QAK=\angle QOK=\alpha $ dır. Son olarak $\angle AQP=180-2\alpha$ ve $\angle OQK=90-\alpha$ olduğunu görüyoruz. Ki bu da $\angle{AQP}=2\angle{OQB}$ demektir.