Eşitsizlik

[Lokman Gökçe]

$x$, $y$, $z$ pozitif gerçel sayılardır.

$\dfrac{x^4 - 2x + 3}{y+z}+\dfrac{y^4 - 2y + 3}{z+x}+\dfrac{z^4 - 2z + 3}{x+y} \geq 3$ olduğunu ispatlayınız. (L. Gökçe)

[çılgın]

$A.G.O$ dan ${x^4+3=x^4+1+1+1}\geq{4x}$ olduğunu biliyoruz. Aynısını $y$ ve $z$ için yapıp ifadede yerine koyduğumuzda kalan şey $\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\geq\frac{3}{2}$ olduğunu göstermek olur, ki bu da Nesbitt adı ile anılan yaygın bir eşitsizliktir. Eşitlik $x=y=z=1$ iken sağlanır.