Tübitak Ortaokul 1.Aşama 2015 Soru 29

[ERhan ERdoğan]

Bir $\omega$ çemberine bu çemberin dış bölgesinde yer alan bir $A$ noktasından çizilen bir teğetin değme noktası $B$ dir. $A$ noktasından geçen bir doğru $\omega$ çemberini sırasıyla $C$ ve $D$ noktalarında kesiyor. $D$ de geçen ve $AB$ doğrusuna paralel olan doğru $\omega$ yı ikinci kez $AD$ doğrusuna göre $B$ ile farklı tarafta kalan bir $E$ noktasında kesiyor. $BC$ ile $AE$ doğruları $F$ noktasında kesişiyor. Buna göre $\dfrac{|AC|}{|BC|}=2$ ise $\dfrac{|AF|}{|FE|}$ kaçtır?   

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ \sqrt{2}
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 2\sqrt{2}
\qquad\textbf{e)}\ 4
$

[ERhan ERdoğan]

Yanıt : $\boxed{E}$

Çemberde aynı yayı gören çevre açıların eşitliğinden $\angle{BDA}=\angle{BEC}=\angle{CBA}$ dır. $DE \parallel BA \Rightarrow \angle{EDA}=\angle{BAD}$ ve çemberden $\angle{EDC}=\angle{EBC}$ dir. Bu açı eşitliklerine göre $\triangle{BCE} \sim \triangle{ACB}$ olur. Bu benzerliğe göre, $\dfrac{|AC|}{|CB|}=\dfrac{|BC|}{|CE|} \tag{1}$ dir. Ayrıca $\angle{ECF}=\angle{ACF}$ olduğundan $\dfrac{|AF|}{|FE|}=\dfrac{|AC|}{|CE|} \tag{2}$ olur. $(1)$ ve $(2)$ den $$\dfrac{|AF|}{|FE|}=\dfrac{|AC|^2}{|BC|^2}=4$$ bulunur.