Tübitak Ortaokul 1.Aşama 2015 Soru 19

[ERhan ERdoğan]

Kaç farklı $c$ gerçel sayısı için $2x^2+y^2+1 = cx(y+1) $ denklemini sağlayan tam olarak bir $(x,y)$ gerçel sayı ikilisi vardır?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 5
$

[ERhan ERdoğan]

Yanıt : $\boxed{B}$

Denklemi $x$ e bağlı ikinci dereceden denklem olarak düzenleyelim. $2x^2-c(y+1)x+y^2+1=0$.Bu denklemin tek çözümünün olması için diskriminantının sıfıra eşit olması gerekir. O halde $c^2(y+1)^2-8(y^2+1)=0 \Rightarrow (c^2-8)y^2+2c^2y+c^2-8=0$ olur. Bu denkleminde benzer şartı sağlaması beklendiğinden $4c^4-4(c^2-8)^2=0 \Rightarrow c=\pm2$ için tam olarak bir $(x,y)$ ikilisi bulunur.