Tübitak Lise 1. Aşama 2015 Soru 07

[ERhan ERdoğan]

$xy(x-y)=1$ ve $ x^2-xy+y^2 = y+1$ koşullarını sağlayan $(x,y)$ gerçel sayı ikilileri için $x^2+y^2$ ifadesinin alabileceği en büyük ve en küçük değerlerin farkı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ \sqrt{2}
\qquad\textbf{c)}\ \sqrt{3}
\qquad\textbf{d)}\ 2
\qquad\textbf{e)}\ \sqrt{5}
$

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

Yanıt:$\boxed{E}$

İkinci ifadeyi $x(x-y)+y^2=y+1$   diye yazıp  $x(x-y)$  yerine $\dfrac{1}{y}$  yazalım.  Denklem $y^3-y^2-y+1=0$  a dönüşür.  Bu da $(y+1)(y-1)^2=0$  demektir. Yani   $y=1$   veya  $y=-1$  dir. $y=1$  olduğunda  $x^2-x-1=0$  dan  $x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$  veya 

$x=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$  çıkar.  $x^2+y^2=\dfrac{6+2\sqrt{5}}{4}$  veya  $x^2+y^2=\dfrac{6-2\sqrt{5}}{2}$  bulunur.  $y=-1$  olduğunda  $x^2+x+1=0$  çıkar ki bu denklemin kökleri gerçel değildir. O zaman $x^2+y^2$  nin alabileceği en büyük değerle en küçük değerin farkı 

$\dfrac{6+2\sqrt{5}}{4}-\dfrac{6-2\sqrt{5}}{4}=\sqrt{5}$  tir.