Tübitak Lise 1. Aşama 2015 Soru 26

[ERhan ERdoğan]

$n>1$ tam sayısının en büyük ve en küçük asal bölenlerinin toplamı $f(n)$ olmak üzere, $f(n)=n-23$ denklemini sağlayan kaç farklı $n>1$ tam sayısı vardır?

$
\textbf{a)}\ 2
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 5
\qquad\textbf{e)}\ 6
$

[Eray]

Yanıt: $\boxed B$

$n$ sayısının en küçük asal böleni $p$, en büyük asal böleni $q$ olsun.

$p=q$ ise $2p = p-23$ denklemini sağlayan $p$ asal sayısı yoktur. Dolayısıyla $n$ en az iki farklı asal çarpan içermelidir.

$n$ sayısı başka çarpanlar da içerebileceğinden $n\ge pq$ olduğu açıktır.
$f(n)=n-23 \Longrightarrow p+q=n-23\ge pq-23$
$p+q\ge pq-23 \Longrightarrow 24 \ge pq - p - q +1 \Longrightarrow 24 \ge (p-1)(q-1)$
$2\le p < q$ olduğunu bildiğimizden, $p=2,3,5$ olabilir.

$q=n-23-p$ olduğundan $q|n-(p+23) \Longrightarrow q|p+23$ tür. O halde,

$p=2 \Longrightarrow q|25 \Longrightarrow q=5 \Longrightarrow n=2+5+23=30$ sağlar.
$p=3 \Longrightarrow q|26 \Longrightarrow q=13 \Longrightarrow n=3+13+23=39$ sağlar.
$p=5 \Longrightarrow q|28 \Longrightarrow q=7 \Longrightarrow n=5+7+23=35$ sağlar.

Yani şartı sağlayan $n$ tam sayıları $30, 35, 39$ olmak üzere $3$ tanedir.