Tübitak Lise 1. Aşama 2015 Soru 21

[ERhan ERdoğan]

$|AB|=11$ ve $|AC|=9$ koşullarını sağlayan bir $ABC$ üçgeninin iç bölgesinde $|BP|=7$ ve $|CP|=3$ koşullarını sağlayan bir $P$ noktası alınıyor. Buna göre, $|AP|$ uzunluğunun alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 5
$

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

Yanıt :$\boxed {B}$

$|BC| \lt 10$ dur.  Eğer $10$  olsaydı bu durumda $P$ noktası $|BC|$  nin üzerinde olurdu. Bu durumda stewart teoreminden $|AP|^2=\dfrac{121\cdot 3+81\cdot7}{10}-21=72$   olurdu. O zaman $|AP|^2 \lt 72$ olmalı. Ayrıca $ABP$ ve $ACP$ 

üçgenlerinde üçgen eşitsizliğinden  $4 \lt |AP| \lt 18$   ve   $6 \lt |AP| \lt 12$    bulunur.   Dolayısıyla $|AP|$  nin alabileceği tamsayı değerler  $7$ ve $8$  olmak üzere  $2$ tanedir.