5. Dereceden Denklem

[Lokman Gökçe]

$x^5+5x^4-10x^3-10x^2+5x+1=0$ denkleminin en küçük kökü nedir?

$
\textbf{a)}\ -1
\qquad\textbf{b)}\ \tan93^\circ
\qquad\textbf{c)}\ \tan99^\circ
\qquad\textbf{d)}\ \tan102^\circ
\qquad\textbf{e)}\ \tan171^\circ
$

Lokman GÖKÇE

[Lokman Gökçe]

$A=\tan27^\circ + \tan63^\circ + \tan99^\circ + \tan171^\circ$ ve $B= \tan27^\circ \cdot \tan63^\circ \cdot  \tan99^\circ \cdot  \tan171^\circ $ ise $B-A$ ifadesinin değeri nedir?

$
\textbf{a)}\ 4
\qquad\textbf{b)}\ 5
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ 7
\qquad\textbf{e)}\ 8
$

Lokman GÖKÇE

[Lokman Gökçe]

Çözüm:

$(\cos{\alpha}+i\sin{\alpha})^n = \cos{n\alpha}+i\sin{n\alpha}$ De Moivre formülünde $n=5$ alırsak

$$\sin{5\alpha}= \sin^5{\alpha} -10\cos^2{\alpha}\sin^3{\alpha} + 5\cos^4{\alpha}\sin{\alpha}$$

$$\cos{5\alpha}= \cos^5{\alpha} -10\sin^2{\alpha}\cos^3{\alpha} + 5\sin^4{\alpha}\cos{\alpha}$$

olur. Bu eşitlikleri oranlarsak

$$ \tan{5\alpha}= \dfrac{\tan^5{\alpha} -10\tan^3{\alpha} + 5\tan{\alpha}}{1 -10\tan^2{\alpha} + 5\tan^4{\alpha}} $$

elde edilir. Şimdi $x=\tan{\alpha}$ dönüşümü yaparsak

$$ \tan{5\alpha}= \dfrac{x^5 -10x^3 + 5x}{1 -10x^2 + 5x^4} $$

olup $\tan{5\alpha}= -1$ için $x^5+5x^4-10x^3-10x^2+5x+1=0$ denklemi elde edilir. Yani bize verilen 5. dereceden denklemin kökleri ile $\tan{5\alpha}= -1$ denkleminin kökleri aynıdır. $\tan{5\alpha}= \tan{135^\circ}$ eşitliğinden bu kökler

$\tan{27^\circ}$, $\tan{63^\circ}$, $\tan{99^\circ}$, $\tan{135^\circ}=-1$ ve $\tan{171^\circ}$ bulunur. En küçük kök $x=\tan{99^\circ}$ olur.

[Lokman Gökçe]

 $x^5+5x^4-10x^3-10x^2+5x+1=0$ denkleminin kökleri $\tan{27^\circ}$, $\tan{63^\circ}$, $\tan{99^\circ}$, $\tan{135^\circ}=-1$ ve $\tan{171^\circ}$ olduğundan Vieta formülünden kökler toplamı ve kökler çarpımı

$$ \tan27^\circ + \tan63^\circ + \tan99^\circ + \tan{135^\circ}+ \tan171^\circ = -5$$
$$\tan27^\circ \cdot \tan63^\circ \cdot  \tan99^\circ \cdot  \tan{135^\circ} \cdot \tan171^\circ = -1 $$

olup $A + (-1) = -5$, $-B=-1$ dir. Böylece $B- A = 1- (-4) = 5 $ elde edilir.