Karede Diklik

[Eray]

$ABCD$ karesinin $AB$ ve $BC$ kenarları üzerinde sırasıyla $E$ ve $F$ noktaları, $|BE|\neq|BF|$ olacak şekilde alınıyor. $CE\cap AF=\{P\}$ olsun. $DP\bot EF$ olması için gerek ve yeter şartın $|AE|=|BF|$ olduğunu gösteriniz.

[Lokman Gökçe]

Önce $ |AE|=|BF|$ olduğunu kabul edelim. Şekildeki gibi harflendirme yapalım. $AED \cong BFA$ (K-A-K eşliği) olduğundan $DE \perp AF$ dir. $EBC \cong FCD$ (K-A-K eşliği) olduğundan $DF \perp EC$ dir. Dolayısıyla $DEF$ üçgeninde $EJ$ ve $FH$ iki yüksekliktir. Bu üçgenin diklik merkezi $P$ olduğundan $DI \perp EF$ elde edilir.

($DP \perp EF$ olduğunu kabul ederek $ |AE|=|BF|$ eşitliğinin ispatını da ekleyeceğiz ...)