Jeton Oyunu {Çözüldü}

[senior]

3cm'lik karelere ayrılmış büyük bir masaya belli bir uzaklıktan jeton atacaksınız. Dairesel jetonun yarıçapı 1 cm. Eğer jeton karelerin birisinin içerisine düşerse oyunu kazanacaksınız. Oyunu bir kez oynamanın ücreti 1 TL,  kazanacağınız para ise 9 TL. Şansınızı dener misiniz?

[Eray]

(Eray Atay, Egemen Erbayat)

Jetonun tek bir $3$x$3$'lük karenin içine düşmesi için, merkezinin şekildeki boyalı alana düşmesi gerekir:

Bunun olasılığı $\dfrac{1}{9}$'dur.

Büyük bir masa düşünülürse, her $9$ kareden biri bize oyunu kazandıracaktır. Şekilden görülebilir:

Sonuç olarak, oyunu kazanma olasılığımız $\dfrac{1}{9}$'dur.

Şimdi, şansımızı denemenin mantıklı olup olmadığına gelelim. Bir kez oynamanın ücreti 1 TL ve kazanırsak alacağımız para 9 TL olduğuna göre, oyunu $9$ kere oynayıp en az birini kazanırsak zarar etmeyiz. Bunu bulmak için ise, $9$ el boyunca hiç kazanamama olasılığımızı $1$'den çıkarmalıyız.
Oyunu kazanamama olasılığımız $\dfrac{8}{9}$'dur. Dolayısıyla $9$ el boyunca hiç kazanamama olasılığımız $\left(\dfrac{8}{9}\right)^9\simeq0,3464$'tür. O halde zarar etmeme olasılığımız $1-\left(\dfrac{8}{9}\right)^9\simeq0,6535$'tir.
Yaklaşık $0,6535$ olasılıkla 9 TL kaybetmemenin yeterli olup olmadığı sizin görüşünüze kalmıştır

[senior]

Beklenen Değer, o karara yardımcı olur genelde

1/9 olasılıkla 9 TL kazanıyoruz, 8/9 olasılıkla -1 TL kazanıyoruz. Yani ortalama 1/9 * 9 + 8/9 * (-1) = 1/9 TL kazanıyoruz. Bu durumda oyunu oynamak mantıklı olabilir.

[Alimmm78]

1/9 olasılıkla 8 TL kazanmış olacak 
8/9 olasılıkla 1 TL kaybetmiş olacak
1/9*8 - 8/9*1 = 0 yani ne kazanıyor ne kaybediyor
neden böyle değil?

[senior]

Haklısın 9 TL değil 8 TL alacak net olarak oyunu kazandığı durumda.

[Eray]

Oyunu oynadığımızda kazanacağımız paranın beklenen değeri 0 TL olduğuma göre oyunu oynamak mantıksal olarak karlı ya da zararlı değildir diye düşünüyorum

[senior]

Sadece buna bağlı karar verilmesi her zaman doğru olmaz Ama beklenen değere göre bakarsak oyunu çok fazla oynarsak ne kar ne zarar elde ederiz.