(Mehmet Utku Özbek)
İfadeyi düzenleyelim.
$\Longrightarrow \dfrac p{p + 1} + \dfrac {q + 1}q = 1-\dfrac{1}{p+1}+1+\dfrac{1}{q}= 2-\dfrac{4}{n+2}$
$\Longrightarrow \dfrac{4}{n+2}=\dfrac{1}{p+1}-\dfrac{1}{q}=\dfrac{q-p-1}{q(p+1)} \ \ \ \ \Longrightarrow 4q(p+1)=(q-p-1)(n+2)$
Son eşitsizlikte sol taraf pozitiftir. Sağ taraftaki $(n+2)$ de pozitif olduğu için $(q-p-1)$ de pozitif olmalıdır. Yani $q\gt p+1$ dir. Şimdi devam edelim.
$\Longrightarrow p+1 \mid (q-p-1)(n+2) = q(n+2)-(p+1)(n+2) \ \Longrightarrow p+1 \mid q(n+2)$
$p+1=qm$ şeklinde olabilir. ($m \mid (n+2)$ olacak şekilde) Ancak $q \gt p+1$ bulmuştuk. Çelişki. O zaman $p+1 \mid n+2$ olmalıdır. $\Longrightarrow n+2=(p+1)k$ şeklindedir. ($k$ bir pozitif tam sayı) Yerine yazalım.
$\Longrightarrow 4q= (q-p-1)k \ \ \ \ \Longrightarrow k\mid 4q$ dur. $q$ asal olduğu için $k=1,\ 2,\ 4,\ q,\ 2q,\ 4q$ olabilir. Bu durumları inceleyelim.
$1) \ \ k=1 \ \ \Longrightarrow 3q=-p-1$ Çözüm yok.
$2) \ \ k=2 \ \ \Longrightarrow 2q=-2p-2$ Çözüm yok.
$3) \ \ k=4 \ \ \Longrightarrow 0=-4p-4$ Çözüm yok.
$4) \ \ k=q \ \ \Longrightarrow q-p=5$
$5) \ \ k=2q \ \ \Longrightarrow q-p=3$
$6) \ \ k=4q \ \ \Longrightarrow q-p=2$
Görüldüğü gibi $q-p$ nin alabileceği değerler $2 \ , \ 3 \ , \ 5$ tir. Çözümlere örnek verelim. $(q,p,n) = (7,2,19) \ , \ (5,2,28) \ , \ (5,3,78)$
