İki at birbirini yemeyecek

[geo]

$8\times 8$ bir satranç tahtasına bir beyaz bir siyah at birbirlerini yemeyecek şekilde kaç farklı şekilde yerleştirilebilir?

Singapur Matematik Olimpiyatı (Küçük Sınıf) - 2011

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

Kareleri isimlendirelim. Yatay sıra $A-B-C-D-E-F-G-H$ ve dikey sıra $1-2-3-4-5-6-7-8$ olsun. Soruda bir beyaz bir siyah at demiş. Yani özdeş değiller. Şimdi sadece beyaz atı koyalım. Mesela $A1$ karesine koyalım. Yemeyecek şekilde siyah atı da $B2$ karesine koyalım. Bu bir durumdur. Sonra beyaz atı $B2$ karesine koyalım. Ve yine yemeyecek şekilde siyah atı da $A1$ karesine koyalım. İki durumumuz oldu.
Şimdi ilk önce siyah atı yerleştirelim. Mesela $A1$ karesine koyalım. Beyaz atı da yemeyecek şekilde $B2$ karesine koyabiliriz. Görüldüğü üzere bir önceki durumla aynı durum oldu. O zaman sadece beyaz atı koyup sonra siyah atın geleceği kareleri sayarsak sonuca ulaşırız.

Şimdi $6$ gruba ayıralım:

$1-$ Beyaz atı ortadaki $4x4$ lük karelerden herhangi birisine koyarsak siyah atı koyamayacağımız $8$ kare var. Bir de beyaz atın bulunduğu kare var. O zaman bu şıktaki durumlar  $16.55$ tanedir.

$2-$ Beyaz atı ortadaki $4x4$ lük karenin her kenarına bitişik olan $16$ kareden (örneğin $B3, B4, B5, B6, C7, D7, E7, F7, G6, G5,....$) herhangi birisine koyarsak siyah atı koyamayacağımız $6$ kare var. Ve yine beyaz atın bulunduğu kare de var. O zaman                   bu şıktaki durumlar $16.57$ tanedir.

$3-$ Beyaz atı $B7, B2, G7, G2$ karelerinden herhangi birine koyarsak siyah atı koyamayacağımız $4$ kare ve beyaz atın bulunduğu kare var. O zaman bu şıktaki durumlar $4.59$ tanedir.

$4-$ Beyaz atı köşedeki karelere ($A1, A8, H1, H8$) koyarsak siyah atı koyamayacağımız $2$ kare ve beyaz atın bulunduğu kare var. O zaman bu şıktaki durumlar $4.61$ tanedir.

$5-$ Beyaz atı $A2, A7, B8, G8, H7, H2, G1, B1$ karelerinden herhangi birine koyarsak siyah atı koyamayacağımız $3$ kare ve beyaz atın bulunduğu kare var. O zaman bu şıktaki durumlar $8.60$ tanedir.

$6-$ Beyaz atı kalan $16$ kareye ($A3, A4, A5, A6, C8, D8, E8, F8, H6, H5, ....$) koyarsak siyah atı koyamayacağımız $4$ kare ve beyaz atın bulunduğu kare var. O zaman bu şıktaki durumlar $16.59$ tanedir.

Bu sonuçları toplarsak cevap $16.55+16.57+16.59+4.59+4.61+8.60=3696$  olarak bulunur.

[geo]

Bir beyaz atı yerleştirdikten sonra, beyaz atın gidebileceği yerlere siyah atı yerleştirmemek istiyoruz. Aksini yapıp tüm durumlardan çıkararak da sonuca gidebiliriz.

Bir beyaz bir siyah at kısıtlama olmaksızın $64 \cdot 63 = 4032$ şekilde yerleştirilir.
Aksi için beyaz attan sonra siyah at, beyaz atın gidebileceği yerlerin sayısı kadar yere yerleştirilebilir.
Satranç tahtasının her karesine o kareye yerleştirilen bir atın gidebileceği kare sayısını yazalım. Satranç tahtasını $4$ tane $4\times 4$ lük parçalara ayıralım. Sol üst köşedeki parça aşağıdaki gibidir.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
2&3&4&4\\ \hline
3&4&6&6\\ \hline
4&6&8&8\\ \hline
4&6&8&8\\ \hline
\end{array}$$ Diğer parçalar da bunun simetriği olacaktır. O halde $4\times 4$ lük bloktaki rakamların toplamı $2+2\cdot 3 + 5 \cdot 4 + 4\cdot 6 + 4\cdot 8 = 84 $, tüm tahtadaki rakamların toplamı $4 \cdot 84 = 336$ tür.
Aradığımız yanıt, $4032-336 = 3696$ dır.