İç teğet çemberin merkezi

[mehmetutku]

$BC$ çaplı $O$ merkezli bir $S$ çemberi verilsin. Çember üzerinde alınan bir $A$ noktası için $\angle AOB \lt 120^\circ$  dir. $C$ yi içermeyen $AB$ yayının orta noktası $D$ olmak üzere $O$ dan geçen $DA$ ya paralel doğru $AC$ yi $I$ da kessin. $OA$ nın orta dikme doğrusu $S$ çemberini $E$ ve $F$ de kestiğine göre $I$ nın $CEF$ üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi olduğunu gösteriniz.

[ERhan ERdoğan]

$AD$ ile $BD$ eş ölçülü yaylardır, yani;  $\angle{BOD}=\angle{AOD}$ dir. $OA=OC$ olduğundan $OD\parallel AC$ olur ve bu demektir ki $OIAD$ paralelkenardır. $[EF]$ , $[OA]$'nın orta dikmesi ve $O$ merkez olduğundan , $[OA]$'da $[EF]$'nin orta dikmesidir. Bu halde $OEAF$  bir eşkenardörtgen olacaktır. $AE=AF$ olduğundan $\angle{ECA}=\angle{FCA}=\angle{AFE}$ dir ve $AF=AI$ olduğundan $\angle{EFI}=\angle{CFI}$ olacağını görebiliriz.Buna göre $CEF$ üçgeni için $CI$ ve $FI$ iç açıortaylar olup kesim noktaları olan $I$ iç merkezdir.