Eşitsizlik-4

[mehmetutku]

Her    $a,b,c \gt 0$   gerçel sayıları için aşağıdaki eşitsizliğin sağlandığını ispatlayınız.
                 
                               $\dfrac{(a-b)^2}{(c+a)(c+b)}+\dfrac{(b-c)^2}{(a+b)(a+c)}+\dfrac{(c-a)^2}{(b+c)(b+a)} \ge \dfrac{(a-b)^2}{a^2+b^2+c^2}$

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

Cauchy - Schwarz uygulayalım.

$\Longrightarrow (a^2+b^2+c^2+3ab+3ac+3bc)(\dfrac{(a-b)^2}{(c+a)(c+b)}+\dfrac{(b-c)^2}{(a+b)(a+c)}+\dfrac{(c-a)^2}{(b+c)(b+a)}) \ge (|a-b|+|b-c|+|c-a|)^2$

$|a-b|+|b-c|+|c-a|= 2.max(a,b,c)-2.min(a,b,c)$   dir. Ve bu ifade de her ne olursa olsun $2(a-b)$  den büyük eşittir.  O zaman soruda soldaki ifadeye $T$ dersek ;

$\Longrightarrow T \ge  \dfrac{(|a-b|+|b-c|+|c-a|)^2}{a^2+b^2+c^2+3(ab+ac+bc)} \ge \dfrac{4(a-b)^2}{a^2+b^2+c^2+3(ab+ac+bc)}$

$a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ac$  olduğunu A.G.O dan biliyoruz.  O zaman ispat biter :

$\Longrightarrow T \ge \dfrac{4(a-b)^2}{a^2+b^2+c^2+3(ab+ac+bc)} \ge \dfrac{4(a-b)^2}{4(a^2+b^2+c^2)}=\dfrac{(a-b)^2}{a^2+b^2+c^2}$