Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2014 Soru 4

[geo]

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üzerindeki $P$ ve $Q$ noktaları için $\angle PAB = \angle BCA$ ve $\angle CAQ = \angle ABC$ dir. $M$ ve $N$ noktaları sırasıyla $AP$ ve $AQ$ doğruları üstünde olmak üzere, $P$ noktası $[AM]$ nin ve $Q$ noktası $[AN]$ nin orta noktasıdır. $BM$ ve $CN$ doğrularının $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi üzerinde kesiştiklerini gösteriniz.

[geo]

$\triangle ABC \sim \triangle PBA \sim \triangle QAC$.

Önce açı eşitliğinden $\angle BAC = \angle BPA = \angle AQC$, dolayısıyla $AP=AQ = PM = QN$ dur.

Sonra kenar oranlarından, $\dfrac{AP}{CQ} = \dfrac{BP}{AQ} \Rightarrow \dfrac{PM}{CQ} = \dfrac{BP}{QN}$.

Ayrıca $\angle BPM = \angle NQC$ olduğu için $\triangle BPM \sim \triangle NQC$, dolayısıyla $\angle PBM = \angle QNC$ dir. $BM$ ile $CN$ nin kesişimine $R$ dersek basit açı eşitliklerinden $\angle BQN = \angle BRN = \angle BAC$ olur ki bu da $A$, $B$, $R$, $C$ noktalarının çembersel olduğu anlamına gelir.