B=60 olan çeşitkenar üçgen

[geo]

$ABC$ çeşitkenar üçgeninde $B$ açısı $60^\circ$ dir. $BC$ nin orta noktası $D$, $DC$ nin orta noktası da $E$ dir. $F$, $AB$ kenarı üzerinde $BF=EC=2$ olacak şekilde bir nokta ve $DF$ nin orta noktası $G$ dir. $\angle GAE = 30^\circ$ ise $\text{Alan} (ABC)$ nedir?

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

$\angle B=60^\circ$  ve $BF=2$ ; $BD=4$ olduğu için $BFD$ üçgeni $30-60-90$ üçgenidir ve $DF=2\sqrt{3}$ tür.  $\angle FDB =\angle GAE=30^\circ$  olduğu için $GAED$   bir kirişler dörtgenidir. Şimdi $A$ dan $BD$  ye dik indirelim ve ayağına $H$ diyelim. $AH$ ın $AG$ nin sağında veya solunda kalması önemli değil aynı sonuç çıkacak.(Ama sorunun sonunda solunda kalması gerektiğini anlayacağız.)  Biz solunda alalım. Şimdi $\angle AED=\angle AGF=a$  olsun. Dolayısıyla $\angle FAG=90-a$ olur. $ABH$ üçgeninin de $30-60-90$ üçgeni olduğunu kolaylıkla görebiliriz. O zaman $\angle GAH=(90-a)-30=60-a$  olur. Dikkatle baktığımız zaman $\angle HAE= 30+(60-a)=90-a$ olduğunu görürüz. O zaman $FAG$ üçgeni ile $HAE$ üçgeni benzerdir. $AF=2x$ olsun. $BH=x+1$ ; $AH=(x+1)\sqrt{3}$  ve $HE=5-x$ olur. Şimdi benzerliği yazalım :

$\Longrightarrow  \dfrac{AF}{AH}=\dfrac{FG}{HE}$

$\Longrightarrow \dfrac{2x}{(x+1)\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{5-x}$

Taraf tarafa çarparsak şu denklemi elde ederiz:

$2x^2-7x+3=0  \Rightarrow (2x-1)(x-3)=0$

Buradan $x=\dfrac{1}{2}$ ve $x=3$ çıkar. $x=3$ için   $AB=BC=8$ olur ama soruda çeşitkenar üçgen demiş.  O zaman $x=\dfrac{1}{2}$  dir. Ve  $AB=3$ tür. (Burada açı kenar bağıntısından $\angle BEA=a \lt 60^\circ$  olması gerektiğini yani çözümümüzde neden $AH$ yi $AG$ nin solunda aldığımızı anlarız.)

Sinüs alan formülünden $Alan(ABC)= \dfrac{3.8.\sin 60^\circ}{2}=6\sqrt{3}$  bulunur.

[geo]

$BC$ nin orta dikmesi $AB$ doğrusu $H$ noktasında kesişsin. $\triangle HBC$ kenarı $8$ olan bir eşkenar üçgendir.
$\angle FHD = \angle DHC = 30^\circ$ ve $\triangle FHD \sim \triangle DHC$ dir. $\triangle FHD$ nin $HG$ kenarortayı ile $\triangle DHC$ nin $HE$ kenarortayı kenarla aynı açıyı yapacaktır. Bu durumda, $\angle FHG = \angle DHE$, dolayısıyla $\angle GHE = 30^\circ = \angle GAE = \angle GDB$ dir. Yani, $G$, $D$, $E$, $H$, $A$ noktaları çemberseldir. $B$ noktasının bu çevrel çembere göre kuvvetinden $BD \cdot BE = BA \cdot BH \Rightarrow BA = 3$ çıkar.
$\text{Alan}(ABC) = \dfrac 12 \cdot AB \cdot BC \cdot \sin 60^\circ = \dfrac {1}{2} \cdot 3 \cdot 8 \cdot \dfrac {\sqrt 3}{2} = 6\sqrt 3$ tür.