2013 JBMO

[ERhan ERdoğan]

$|AB|<|AC|$ olmak üzere $ABC$ dar açılı üçgeninin $\omega$ çevrel çemberinin merkezi $O$ olsun. $[BC]$ kenarı üzerinde $\angle BAD = \angle CAO$ olacak şekilde bir $D$ noktası alınıyor. $AD$ doğrusu $\omega$ çemberini ikinci kez $E$ noktasında kesiyor. $M, N$ ve $P$ sırasıyla, $[BE], [OD]$ ve $[AC]$ doğru parçalarının orta noktaları ise, $M, N$ ve $P$ noktalarının doğrusal olduğunu gösteriniz.

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

$[OM]\perp[BE]$ ve $[OP]\perp[AC]$ dir. $[MD]$ ve $[DP]$ yi de çizelim. Eğer $MDPO$ dörtgeninin paralelkenar olduğunu gösterirsek ispat biter. Çünkü eğer $MDPO$ paralelkenar ise $[OD]$ köşegeninin orta noktası $N$ olduğu için $[MP]$ köşegeni $N$ den geçmek zorundadır. Şimdi paralelkenar olduğunu ispatlayalım.
İlk adım olarak $\angle BAD=\angle OAC= a$ diyelim. O zaman $\angle AOC=180-2a$ ve $\angle ABC=90-a$ olur. $\angle BAD=a$ ve $\angle ABC=90-a$ olduğu için $[AD \perp[BC]$ olur. $BDE$ ve $ADC$ üçgenlerinde muhteşem üçlü vardır. Bu yüzden $[BM]=[ME]=[MD]$ ve $[AP]=[PC]=[PD]$ olur. $\angle BEA=b$ olsun. O zaman $\angle MDE=b$ dir. Ve iki iç bir dış açıya eşit olduğundan $\angle OMD=2b-90$ dır. $ABEC$ kirişler dörtgeni olduğundan $\angle BCA$ da $b$ dir. Ve yine benzer şekilde $\angle PDC=b$ ve $\angle OPD=2b-90$ dır. Bu arada $\angle  ADP=\angle BDM=90-b$ olduğu için $\angle MDP=270-2b$ dir. Sonuç olarak $\angle OMD+\angle MDP=\angle OPD+\angle PDM=(2b-90)+(270-2b)=180^\circ$ dir. O zaman $[OP]//[MD]$ ve $[OM]//[DP]$ dir. Yani $MDPO$ paralelkenardır. İspat biter.