Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2011 Soru 10

[Egemen]

Bir küpün köşelerine tam sayılar; en çok kaç köşedeki sayı, bu köşeye bir ayrıtla bağlanan üç köşedeki sayların aritmetik ortalamasından küçük olacak biçimde yerleştirilebilir?

$\textbf{a)}\ 8 \qquad\textbf{b)}\ 7 \qquad\textbf{c)}\ 5 \qquad\textbf{d)}\ 5 \qquad\textbf{e)}\ 4\ $

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)
Yanıt:$\boxed{B}$

8 köşede de bu koşul sağlansın.O zaman köşeler $A,B,C,D,E,F,G,H$ olmak üzere şu eşitsizlikler oluşur.($A,B,C,D$ küpün alttaki karesinin köşeleridir.Ve $E,F,G,H$ de $E$, $A$ nın ; $F$, $B$ nin ;$G$, $C$ nin ve $H$ de $D$ nin üstündeki köşede olacak şekilde yerleştirisin.)

$3A\lt D+E+B$
$3B\lt A+F+C$
$3C\lt D+B+G$
$3D\lt A+H+C$                                 
$3E\lt H+F+A$
$3F\lt E+B+G$
$3G\lt H+F+C$
$3H\lt E+G+D$

Bu eşitsizlikler taraf tarafa toplanırsa şu elde edilir.  $3(A+B+C+D+E+F+G+H)\lt3(A+B+C+D+E+F+G+H)$ Bu da çelişkidir. 8 köşede olamayacağını ispatladık. 7 köşeye örnek verirsek soru biter.
$A=C=H=5$ , $E=B=G=6$ ,$D=4$ ve $F=9$ için durum sağlanır. Bu yüzden cevap $7$ dir.