Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2012 Soru 13

[Egemen]

$n$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, $2^n + 3^n + 4^n$ saysının on tabanına göre yazılmının sondan en çok kaç basamağı $9$ olabilir?

$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 4 \qquad\textbf{e)}\ 5$

[mustafaemir]

Yanıt: $\boxed{B}$

$n=3$ için $99$ a eşit olur yani sondan $2$ basamağı $9$ olur.
Sondan $3$ basamağı $9$ olsun. Son üç basamağı $999$ olduğundan $2^n+3^n+4^n \equiv 7 \pmod{8}$ olur. $n>3$ olduğundan $2^n$ ve $4^n$ $8$'e bölüneceğinden $3^n\equiv 7 \pmod{8}$ olur. Fakat $n$ çift ise $3^n \equiv 1\pmod{8}$ ve $n$ tek ise $3^n \equiv 3 \pmod{8}$ olduğundan çelişki çıkar.