Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2012 Soru 24

[Egemen]

Köşeleri, kenar uzunlukları $|AB| = 10, |BC| = 21$ ve $|CA|=\sqrt {205}$ olan bir $ABC$ üçgeninin kenarları üstünde yer alan ve çevresi $32$ birim olan bir dikdörtgenin uzun kenarının uzunluğu kaç birimdir?

$\textbf{a)}\ 11 \qquad\textbf{b)}\ 12 \qquad\textbf{c)}\ 14 \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{43}{3}\qquad\textbf{e)}\ \dfrac{29}{2}$

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)
Yanıt:$\boxed{C}$

Bu dikdörtgen $KLMN$ dikdörtgeni olsun. ($K$ köşesi $[AB]$ ; $L$ köşesi $[AC]$ ; $M$ ve $N$ köşesi de $[BC]$ üzerinde.)
$A$ dan $[BC]$ ye dik indirelim.$[KL]$ yi kestiği nokta $G$ ve $[MN]$ yi kestiği nokta $H$ olsun. $[AH]=x$ ve $[BH]=y$ olsun. O zaman $[HC]=21-y$ olur. Pisagor yapalım.
$x^2+y^2=100$ ve $x^2+(21-y)^2=205$
Bu iki eşitliği taraf tarafa çıkarırsak $y=8$ ve sonrasında $x=6$ bulunur. $[AG]=t$ olsun. $[GH]=6-t$ olur. Dikdörtgenin çevresi $32$ ve $[GH]$ kısa kenara eşit olduğundan dolayı uzun kenar ,yani $[KL]=t+10$ olur. Benzerliği yazalım.
$\dfrac{[AG]}{[AH]}=\dfrac{[AL]}{[AC]}=\dfrac{[KL]}{[BC]}$ dir. Şimdi $\dfrac{[AG]}{[AH]}=\dfrac{[KL]}{[BC]}$ da yerine yazalım.
$\Longrightarrow \dfrac{t}{6}=\dfrac{t+10}{21}$
Buradan $t=4$ ve uzun kenar yani $[KL]=t+10=14$ bulunur.