Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2012 Soru 17

[Egemen]

Bir pozitif tam sayının basamak sayısı ile küpünün basamak sayısının toplamı $2012$'den büyük olmayan kaç farklı değer alabilir?

$\textbf{a)}\ 1509 \qquad\textbf{b)}\ 1342 \qquad\textbf{c)}\ 1006 \qquad\textbf{d)}\ 671 \qquad\textbf{e)}\ 503$

[Egemen]

Yanıt:$\boxed A$

Sayı $n$ basamaklı ise küpü $3n-2,3n-1$ veya $3n$ olabilir.
Toplamı $4n$ veya $4n-1,4n-2$ olabilir.
Bunların sayısıda $2012\div 4 \cdot 3=1509$'dur

[Eray]

Yanıt: $\boxed{A}$

Sayımız $x$, basamak sayısı $a$ olsun. $10^a-1\leq x<10^a \Longrightarrow 10^{3a-3}\leq x^3<10^{3a}$
Yani küpünün basamak sayısı $3a-3, 3a-2, 3a-1$ olabilir. O halde sayının basamak sayısı ile küpünün basamak sayısının toplamı $4a-3, 4a-2, 4a-1$ olabilir.
$4a-1\leq2012 \Longrightarrow 4a\leq2013 \Longrightarrow a\leq503$'tür. $a$ sayısı $1, 2, \cdots 503$ değerlerini alabilir. Her biri için $4a-3, 4a-2, 4a-1$ olmak üzere $3$ durum olduğundan, toplam $503\cdot3=1509$ farklı değer vardır.