Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2003 Soru 5

[ERhan ERdoğan]

$n$ pozitif bir tam sayı ve $x_1 \leq x_2 \leq \dots \leq x_n$ gerçel sayılar olsun. $$ \left( \sum_{i,j=1}^{n}|x_i-x_j| \right)^2 \leq \dfrac{2(n^2-1)}{3} \sum\limits_{i,j=1}^n (x_i - x_j)^2$$ olduğunu kanıtlayınız. Eşitliğin sağlanması için gerek ve yeter koşulun $x_1, \dots, x_n$ in aritmetik bir dizi olması olduğunu gösteriniz.