Yanıt: $\boxed{B}$
Sayı $1$ basamaklı ise, karesi $1$ veya $2$ basamaklı olabilir.
Karesinin $1$ basamaklı olması için kendisinin rakamları toplamı $1$ olmalıdır. Rakamları toplamı $1$ olan tek $1$ basamaklı sayı $1$'dir ve bu şartı sağlar.
Karesinin $2$ basamaklı olması için kendisinin rakamları toplamı $2$ olmalıdır ancak bu şartı sağlayan tek $1$ basamaklı sayı $2$'dir ve $2^2=4$ sayısı $2$ basamaklı değildir.
Sayı $2$ basamaklı ise, karesi $3$ veya $4$ basamaklı olabilir.
Karesinin $3$ basamaklı olması için kendisinin rakamları toplamı $3$ olmalıdır. Rakamları toplamı $3$ olan $2$ basamaklı sayılar $12, 21, 30$'dur. Kareleri sırasıyla $144, 441, 900$'dür ve hepsi $3$ basamaklı olduğundan $12, 21, 30$ sayıları bu şartı sağlar.
Karesinin $4$ basamaklı olması için kendisinin rakamları toplamı $4$ olmalıdır. Rakamları toplamı $4$ olan $2$ basamaklı sayılar $13, 22, 31, 40$'tır. Kareleri sırasıyla $169, 484, 961, 1600$'dür ve aralarından sadece $1600$ sayısı $4$ basamaklı olduğundan $40$ sayısı bu şartı sağlar.
Şu ana kadar $1, 12, 21, 30, 40$ olmak üzere toplam $5$ adet sayı bulduk. Bir tane daha bulmalıyız.
Sayı $3$ basamaklı ise karesi $5$ veya $6$ basamaklı olabilir.
Karesinin $5$ basamaklı olması için kendisinin rakamları toplamı $5$ olmalıdır. Rakamları toplamı $5$ olan $3$ basamaklı en küçük sayı $104$'tür ve $104^2=10816$ olduğu için $104$ sayısı bu şartı sağlar.
Yani, karesinin basamak sayısı, kendisinin rakamları toplamına eşit olan en küçük $6$ pozitif tamsayı $1, 12, 21, 30, 40$ ve $104$'tür. Toplamları ise $1+12+21+30+40+104=208$'dir.
