Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2013 Soru 19

[Lokman Gökçe]

$x,y,z$ pozitif gerçel sayılar olmak üzere, $(x^2+y^3+z^6)/(xyz)$ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

$
\textbf{a)}\ \sqrt[6]{288}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{11}{4}
\qquad\textbf{c)}\ 2\sqrt2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Eray]

Yanıt: $\boxed{E}$

Aritmetik - Geometrik Ortalama Eşitsizliği:

$\dfrac{\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{y^3}{2}+\dfrac{y^3}{2}+z^6}{6}\geq\sqrt[6]{\dfrac{x^2}{3}\cdot\dfrac{x^2}{3}\cdot\dfrac{x^2}{3}\cdot\dfrac{y^3}{2}\cdot\dfrac{y^3}{2}\cdot z^6}$
$\Longrightarrow \dfrac{x^2+y^3+z^6}{6}\geq\sqrt[6]{\dfrac{x^6\cdot y^6\cdot z^6}{3^3\cdot2^2}}$
$\Longrightarrow \dfrac{x^2+y^3+z^6}{6}\geq xyz\sqrt[6]{\dfrac{1}{3^3\cdot2^2}}$
$\Longrightarrow \dfrac{x^2+y^3+z^6}{xyz}\geq6\cdot\sqrt[6]{\dfrac{1}{3^3\cdot2^2}}=\sqrt[6]{432}$