İki adet polinom tanımlayalım, $$P(x)=\sum_{k=0}^n \binom{2n+1}{2k+1}x^{2k+1}$$ $$Q(x)=\sum_{k=0}^n \binom{2n+1}{2k}x^{2k}$$ Bu iki polinomu taraf tarafa toplayıp, çıkartırsak $$P(x)+Q(x)=\sum_{k=0}^{2n+1}\binom{2n+1}{k}x^{k}=(1+x)^{2n+1}$$ $$Q(x)-P(x)=\sum_{k=0}^{2n+1}\binom{2n+1}{k}(-x)^{k}=(1-x)^{2n+1}=(1-x)^{2n+1}$$ Yani $$P(x)=\sum_{k=0}^n \binom{2n+1}{2k+1}x^{2k+1}=\frac{(1+x)^{2n+1}-(1-x)^{2n+1}}{2}\implies \sum_{k=0}^n \binom{2n+1}{2k+1}x^{2k}=\frac{(1+x)^{2n+1}+(x-1)^{2n+1}}{2x}$$ Eğer $x=2^{3/2}$ koyarsak, $$S=\sum_{k=0}^n \binom{2n+1}{2k+1}2^{3k}=\frac{(1+2^{3/2})^{2n+1}+(2^{3/2}-1)^{2n+1}}{2^{5/2}}$$ Eğer bu ifade $5$'e bölünüyorsa $2^{n+3}$ katı da $5$'e bölünür. Dolayısıyla $$2^{n+3}S=2^{n+1/2}(1+2^{3/2})^{2n+1}+2^{n+1/2}(2^{3/2}-1)^{2n+1}=(4+\sqrt{2})^{2n+1}+(4-\sqrt{2})^{2n+1}$$ Eğer $a_n+b_n\sqrt{2}=(4+\sqrt{2})^{2n+1}$ dersek, $a_n-b_n\sqrt{2}=(4-\sqrt{2})^{2n+1}$ olur. $5\mid S$ olduğundan $5\mid a_n$ olmalıdır. Ayrıca $$a_n^2-2b_n^2=(4+\sqrt{2})^{2n+1}(4-\sqrt{2})^{2n+1}=14^{2n+1}\equiv -1\pmod{5}$$ $$\implies -2b_n^2\equiv -1\pmod{5}\implies b_n^2\equiv 3\pmod{5}$$ çelişkisi elde ederiz. Dolayısıyla hiçbir $n$ için $5\mid S$ olamaz.
