Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1973 Soru 5

[ERhan ERdoğan]

$G$; gerçel $x$ değişkeninin $$f(x) = ax+b, a \text{ ve } b \text{ gerçel sayılar}$$ biçimindeki sabit olmayan fonksiyonlarının kümesi olup, aşağıdaki özellikleri taşımaktadır:

• $f$ ve $g$ fonksiyonları $G$ de ise, $g \circ f$ fonksiyonu da $G$ dedir. (Burada $(g \circ f)(x) = g\left[f(x)\right]$ oluyor.)
• $f$, $G$ de ise, tersi olan $f^{-1}$ de $G$ dedir. (Burada $f(x)=ax+b$ nin tersi $f^{-1}(x) = (x-b)/a$ oluyor.)
• $G$ deki her $f$ için, $f(x_f) = x_f$ olacak şekilde $x_f$ gerçel sayısı vardır.

$G$ deki her $f$ için $f(k)=k$ olacak şekilde bir $k$ gerçel sayısının var olduğunu gösteriniz.