Yanıt: $\boxed{D}$
$\dfrac{1}{n+1}<a<\dfrac{1}{n}$ eşitsizliğinde $a$ rasyonel sayısının paydası $2013$ ise, $a=\dfrac{x}{2013}$, $x\in \mathbf N$ diyebiliriz.
$\dfrac{1}{n+1}<\dfrac{x}{2013}<\dfrac{1}{n} \Longrightarrow \dfrac{2013}{n+1}<x<\dfrac{2013}{n}$ eşitsizliğinin tek bir $x$ doğal sayısı için gerçekleşmesini istiyoruz. Bunun için $\dfrac{2013}{n+1}$ ve $\dfrac{2013}{n}$ sayılarının arasında tek bir doğal sayı yer almalıdır. Bu şartı gerçekleştiren $n$ sayısı için $\dfrac{2013}{n}$ ve $\dfrac{2013}{n+1}$ sayıları arasındaki fark $2$'den küçüktür. (Örneğin $x=10$ olsun. $\epsilon$ sayısı $0$'a çok yakın bir pozitif sayı olmak üzere, aradaki farkı en geniş tutmak için $\dfrac{2013}{n+1}=10+\epsilon$, $\dfrac{2013}{n}=12-\epsilon$ alınabilir. Aradaki fark $2-2\epsilon$ olur)
$\dfrac{2013}{n}-\dfrac{2013}{n+1}<2 \Longrightarrow \dfrac{2013}{n(n+1)}<2 \Longrightarrow 1006,5<n(n+1)$ elde edilir. $31\cdot32=992$, $32\cdot33=1056$ olduğundan $32\leq n$'dir.
$n=32 \Longrightarrow \dfrac{2013}{n+1}=61$, $\dfrac{2013}{n}=62,90625$ olur. $61$ ve $62,90625$ sayıları arasında tek bir doğal sayı olup o sayı $62$ olduğundan, $n=32$ bu şartı sağlayan en küçük sayıdır. $n$'nin rakamları toplamı ise $3+2=5$'tir.
$n=32$ sayısı şartımızı sağlamasaydı, $33, 34, 35,\cdots$ sayılarını sırayla deneyip şartı sağlayan en küçük $n$ sayısını bulmaya çalışacaktık.
